解析几何高考题—解析几何高考题过定点和定直线的研究问题

在数学的浩瀚宇宙中，解析几何以其严谨的逻辑与直观的图像，成为了连接代数与几何的桥梁。尤其是解析几何高考题，不仅考验着学生对基本概念的深入理解，更挑战着他们的逻辑思维与问题解决能力。其中，“过定点和定直线的研究问题”更是历年高考中的热点与难点，它不仅要求学生掌握解析几何的基础知识，还要能够灵活运用，巧妙转化，从而揭示问题的本质。
本文将深入探讨解析几何高考题中过定点和定直线问题的解题策略，通过实例分析，揭示其内在规律，为考生提供一条清晰明了的解题路径。

一、定点与定直线：问题的基石
解析几何中，定点与定直线往往作为问题的出发点或关键点，它们如同迷宫中的路标，引导我们寻找解题的线索。定点，意味着在坐标系中的一个固定位置；而定直线，则是一条位置和方向均确定的直线。在高考题中，这两者的结合，往往构成了复杂图形的核心结构，需要通过坐标法、参数方程等手段进行解析。

二、构建方程：解析的钥匙
面对过定点和定直线的问题，首要任务是构建数学方程。这要求我们熟练掌握直线的点斜式、两点式、一般式以及圆的方程、椭圆的方程等基础知识。通过建立方程组，我们能够找出满足条件的点或直线，进而解决问题。例如，在处理一条直线过定点且与某圆相切的问题时，我们可以利用切线到圆心的距离等于半径的性质，结合点到直线距离的公式，构建方程求解。

三、图形变换：直观的辅助
解析几何的魅力在于其能够通过代数手段解决几何问题，但几何直观同样不可或缺。在处理过定点和定直线的问题时，适时引入图形变换，如平移、旋转、伸缩等，可以大大简化问题。例如，通过平移坐标轴，使定点成为原点，或使定直线成为坐标轴，可以极大简化方程形式，便于后续计算和分析。

四、参数方程与极坐标：灵活的转换
对于某些复杂问题，直接求解可能困难重重。此时，参数方程和极坐标的引入，为我们提供了另一种解题思路。通过参数化表示，我们可以将问题转化为关于参数的方程，利用参数的取值范围求解。极坐标则适用于处理涉及角度和距离的问题，尤其是在处理与圆或扇形相关的几何题时，极坐标的应用往往能化繁为简。

学习数学解析几何，有什么好的办法吗？

在近几年的高考试题中，有关解析几何的问题时有出现，其中有关直线与圆锥曲线的综合题多以解答题的形式出现．学生在解答这类题目时，常常表现为无从下手，或者半途而废．据此，我认为，解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部人手，整体思维．从宏观和微观两方面入手，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题过程中的运算难关．我就解析几何综合题的解题思路和方法谈点自己的想法，你可以参考下．

1 注重数形结合，充分利用判别

2 注重选用参数。充分利用韦达定理

3 注重向量知识的联系，充分运用向量来解题

在一般情况下，直线和圆锥曲线的关系问题是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步判断方程组的解的情况，但要注意判别式与向量的使用以及题设中变量的范围。

4 注重建立函数关系和不等关系，充分利用求根公式

总之，数学解题犹如打仗，不能只忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明什么，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在．只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，才能决胜千里．

解析几何的常用方法：平方差法（点差法）

平方差法又称为点差法，该方法的核心是平方差公式：

在涉及圆锥曲线与弦的关系时，该公式往往具有很好的效果。而且，对于各类圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，该方法都适用。

点差法以及由点差法推导得出的一些常用结论，属于高考数学中的高频考点，务必要重视。

以 表示椭圆上两个不同的点

两式相减可得：

当然，也可以写成：

其中， 代表弦 的中点。

【解读公式】

公式可以用文字解读如下：

这是一个重要的常用结论，也是高频考点。

【真题实例】

2015年的全国卷二中，直接把常用结论的推导过程作为考题。详见：

2015年文数全国卷B题20

还有更多考题，则是在解答过程中需要应用上述结论：

2010年文数全国卷题20

2010年理数全国卷题20

2013年文数全国卷B题20

2020年理数全国卷A题20

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 ，则

或：

【解读公式】

公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

【真题实例】

2018年数学全国卷B题20

2017年理数全国卷C题20

1987年全国卷题21

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 , 则

或：

【解读公式】

公式可以用文字表述如下：

【解读公式】

公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

【真题实例】

2017年文数全国卷A题20

若圆 的方程为：

两点在圆上，并记 中点为 , 则

也就是说： . 实际上是用解析的方法得出了垂径定理。

如图所示，抛物线方程为： , 为抛物线的弦. 保持弦 的斜率不变，并向左移动，则其中点 的 坐标不变，同时 三点不断地靠近，最终变为一点. 这时，直线与抛物线只有一个公共点，直线也由抛物线的弦变为切线。

换言之，如果作一条与切线平行的弦，则弦的中点的 坐标与切点的 坐标相等。

若切点坐标为 , 则

切线的方程为：

同样的道理，如果抛物线的方程为： , 则

切线的方程为：

平方差法可以发挥什么样的作用？

平方差法（点差法）的作用，概括地说，就是将弦的斜率与弦的中点坐标关联起来，可以解决的问题有好多：

（1）弦长问题

（2）求弦的中点的轨迹方程

（3）求弦的斜率范围

（4）求切线的方程

（5）定点问题

从前面的真题实例可以看出，这一方法在高考中用到的机会是很多的。